桐高数学报

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桐高数学报

编辑委员会

主编：吴嘉成
社长 & 副社长：吴嘉成周宇晨
作者：

第一章：吴嘉成
第二章：陈安浙、高先扬
第三章：陈易
第四章：钟一峰
第五章：张舒元
第六章：吴嘉成
第七章：吴嘉成
第八章：钱泽洋
第九章：钱东成、沈浩宇
第十章：周佳杰
第十一章：严光耀
第十二章：严光耀
第十三章：高楚轩

网站创始人：高楚轩
美工 & 排版：赵奕辉 (@Silentnrtx)

桐高数学社编辑部 2026年3月

编者寄语

致亲爱的读者：

今年是我们桐高数学社创立第一年，为让桐高学子感受到数学之美，我们创办了《桐高数学报》. 在这里，你能看到逍遥于应试教育体系之外的数学，它是生活，是规律，是世界的底层代码. 在《桐高数学报》中，你可能会颠覆对世界的某些主观认知，亦或是穿越千百年时空，与前人共赏几何之美.

在阅读文章之余，还有"赏金猎人"题目悬赏活动，读者可以尝试做一做上面的题目（均为数学社成员原创），写出答案和详细解答过程可拍照发至邮箱 2064016911@qq.com，届时按正确答案做出数量排名，前三可以获得数学社惊喜大礼包一份（保密），且注意期间不得将答案告诉他人也不能询问数学老师，请诚信参与！

另外，数学社成员为爱发电，为我们建立了一个网站 http://8.130.142.175，任何人都可以在网站上发帖，请教数学问题，为桐高学子搭建良好数学学习环境. （详见《数学社网站介绍》）

最后，希望读者能在闲暇之余读一读我们的《桐高数学报》，领略数学之美.

2026年3月3日
桐高数学社社长吴嘉成

日影的轨迹究竟是什么——地理中的几何学

众所周知，一根长木杆竖直立在地面上，一天中日影的轨迹会随着时间的变化先变短后变长，但不知读者是否思考过：日影是如何变化的？即：日影的轨迹究竟是什么？要解决这个问题，就得请出我们的几何学了.

首先要知道，夜晚的每颗星星都在绕着固定不动的北极星转，连白天高挂头顶的太阳也不例外.也就是说，太阳在以北极星为圆心的一个圆上运动，太阳光从太阳发出，经过长木杆的顶部，再与地面相交，这样就形成了日影，大概就是像下面这样（图 1.1）.

连接杆的顶部和北极星形成了一条中轴线，不知这时你是否有些头绪？太阳和杆顶的连线构成了一个圆锥.同时，我们将地面近似地看作一个平面，于是我们原来的问题就变成了：圆锥与平面的交线呈什么轨迹？

学过选修一的有福了，如果你翻开课本104页，你就会发现圆锥与平面的交线其实就是圆锥曲线.没学过也不要紧，看下面这张图（图 1.2），根据截面角度的不同，截面与圆锥的交线形状也会不同：平行于底面截出来的是圆；略微倾斜并且交线与底面不相交的截面截出来是椭圆；截面倾斜至交线与底面相交且与母线平行时，截出来的是抛物线；当截面斜切椭圆且与上下两个圆锥均相交时截出来的是双曲线.

那么我们只要判断日影相对地面的倾斜程度就可以知道它的轨迹了.一般来说，太阳的倾斜程度相对较大，截面与上下两部分的圆锥均相交，日影的轨迹是双曲线，此时太阳东升西落.而当遇到极昼时，我们一整天都看得到太阳，太阳所在的上面的圆锥与地面没有交线，读者不妨来思考一下，这时日影的轨迹是什么？聪明的读者肯定想到了，它就是椭圆.没法想象的读者可以参考下面这张相对直观的图片（图 1.3），如果再特殊一些，长木杆刚好与圆锥的高线重合，此时日影的轨迹就是一个圆.再再特殊一些，若地面仅与圆锥的一条母线平行，即太阳从午夜时分射出一条平行的光线，那么就形成了抛物线.

日影的轨迹难道只有这四种曲线吗？显然不是.春分或是秋分时，太阳直射赤道，若在北半球立起一根杆子，圆锥的锥角会变为180°，即退化成一个平面，平面与平面的交线自然是直线.实际上，我们可以把直线看作退化的圆锥曲线（二次曲线）.

于是我们可以得出结论：日影的轨迹是圆，椭圆，双曲线，抛物线或者是直线（以上曲线统称为二次曲线），它会随着纬度，节气，时间等因素发生变化.读到这里，不知读者是否被大自然与科学所震撼，从简单的日影轨迹问题延伸出圆锥曲线的理论，这或许就是数学乃至自然科学的魅力所在.

警惕！数学社社长的简单数学时间

团团、亚洲飞斧

引言

数学社开会的时候，社长露出他那甜美（邪恶）的笑容："桐高数学社全校学生代表大会第x次会议正式开始！"掌声热烈响起，"社长说得好！""在社长的带领下我们社一定能蒸蒸日上！"台下的社员们一边鼓掌，一边在心里默默吐槽："又来了，每次开会都要先演这出戏，不知道今天又要搞什么'数学魔术'."

神奇的乒乓球

社长从口袋里掏出10个乒乓球放在桌上，又拿出一个碗（虽然一个碗装不下10个乒乓球），让同学把他的眼睛用手帕蒙住，请一位同学上来.

社长说："你在黑板上随便写一个三位数，要求三位数字不一样而且百位数字比个位数字大.你把这个三位数前后颠倒变成另一个三位数，用前一个三位数减去后一个三位数，把它们的差每一位相加，直到加到一位数为止.你从桌上取走等于这个一位数的乒乓球，把剩下的乒乓球扣在碗下，取下手帕，我看一下碗就知道下面扣着几个乒乓球."

"有这么神？"

一位同学走向黑板，写出一个三位数895，前后颠倒位置是598，做减法895-598=297，把297的每一位数字相加，2+9+7=18，再将18的每一位数相加，1+8=9，最后得9.这位同学迅速从桌上拿走9个乒乓球，把剩下的一个乒乓球扣在碗下.

社长解开手帕，看了一下碗说："碗下扣着一个乒乓球."他把碗翻开，果然是一个乒乓球.社长怎样算出来的呢？原来按照他指定的算法，不管你写的三位数是什么，最后相加所得的一位数一定是9！碗下扣的准是一个乒乓球.至于其中的道理嘛......就由各位同学自己探索吧！

厉害的社长

社长拿出一张白纸递给一位同学，让他随便写一个一位数，他写了个6；把纸传给第二个同学，他在6的下面又随便写了个8；纸传给第三个同学让他把6和8相加，得14;传给第四个同学，让他把8和14相加，得22;再传给第五个同学，叫他把14和22相加......这样一直传到第十个同学，算得和是398.社长把纸递给身旁的一个同学，让他把十个数连加求和.这个同学刚加了3个数，社长脱口说出："和等于1034."这个同学算完以后，果然等于1034.这次社长的奥秘又在哪儿呢？

关键是第七个数94，只要用11去乘94就得十个数的总和.社长就是这样算出来的.

道理何在？

从6到398这十个数有一个共同的特点，它们都是由6和8这两个数反复相加而成.我们研究一下6和8在这十个数中出现有什么规律.我们发现从第四个数开始，6和8出现的个数等于相邻前两个数中相应个数之和.这样就可以把每个数中6和8出现的次数都写出来：

数列 6 8 14 22 36 58 94 152 246 398
——----- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ----- ----- -----
6出现次数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21
8出现次数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

: 数列及其中6出现的次数

把从6到398相加，在总和中6出现的次数为

1+0+1+1+2+3+5+8+13+21=55.

而8出现的次数为

0+1+1+2+3+5+8+13+21+34=88.

它们都正好是94中6和8出现次数的11倍，因此，用11去乘94就得这十个数的总和了.

注：此故事纯属虚构，如有雷同，均为巧合.

公交车悖论

假设公交车每十分钟一班，你有可能要等一分钟或者十分钟，平均来看要等五分钟，可是你总是要等八九分钟，这是为什么呢？

数学会告诉我们，你等待的时间不会是十五分钟而是一定比五分钟长.我们现在来证明一下：你七点多从家里出发，坐公交车去上课，公交车一个小时六班且特别准时（十分钟一班），而你随机在七点到八点中任意一个时刻在车站等车，那么此时你等车的平均时间就是五分钟.可是呢，公交车不可能是准时的，有的司机技术好来的快，有的司机可能半途停下来上个厕所（其他也行），这就导致每班车之间间隔不会全是一样的.假设前三辆开的快，到站间隔缩短为五分钟，后三辆开的慢，间隔十五分钟一班，你还是随机时间到站，这个时候可以算一下你等车的平均时间，在七点到七点十五（前三班车），你平均等车时间是两分半（2.5），在七点十五到八点，你平均等车时间是三个两分半（7.5），也就是说，你有四分之一的概率等2.5分钟，有四分之三的概率等7.5分钟，进行一下计算，会发现你平均要等6.25分钟，比五分钟长吧.仅仅因为有的司机开的慢有的司机开的快，就让你等车时间一定会变长，非常amazing吧？

这本质上是因为你坐上慢车和快车的概率是不一样的，慢车由于它慢，占据的时间更多，所以你就更容易坐到慢车，于是你的等待时间就会变长.如果司机越开越随机，那么你的等车时间将会越来越接近发车时间间隔，这就是数学.人生也是这样，你有更大的概率在等待一辆慢车，一件慢的事，一个慢的人.

或许你不常坐公交车，那么这里还有一个更通俗易懂的例子——友谊悖论.

在学校里，你会不会感觉自己总是有点社恐，不太好跟别人说话，但你的朋友极其社牛，跟谁都聊的来，难道你的朋友真的比你更受欢迎？数学告诉你，这是真的.直觉上来说，你和你的朋友所拥有的朋友数应该是差不多的，可数学上可以证明，你的朋友大概率会拥有比你更多的朋友.

你可以参考这张图，简单起见，我们把每条线都认为是朋友，然后数一下每个人的朋友数，以及每个人朋友的平均朋友数（如果你真的很闲的话）.统计结果如下：

诗人 朋友数 朋友均值 诗人 朋友数 朋友均值 诗人 朋友数 朋友均值
——---- ———— ————-- ——---- ———— ————-- ——---- ———— ————--
王绩 1 <2 张九龄 3 <4.33 元稹 4 <4.75
王勃 2 2 陈子昂 2 <7 刘禹锡 4 4
杨炯 3 2.33 王昌龄 6 4.83 白居易 3 <3.67
卢照邻 2 2 孟浩然 4 <5.75 柳宗元 3 <4.67
骆宾王 1 <2 王之涣 2 <5.5 杜牧 2 <6
宋之问 3 2 李白 8 4.25 韩愈 6 3.67
沈佺期 1 <3 王维 6 5.17 李商隐 3 2.33
杜审言 2 <4.5 高适 5 <5.2 贾岛 2 <4
贺知章 2 <5.5 岑参 4 <5.75 孟郊 2 <4
张说 3 <4.33 杜甫 9 4.44 李贺 2 <4.5

: 唐代诗人朋友数与其朋友的平均朋友数比较

你会惊奇的发现，大部分诗人的朋友的朋友都比自己多.

这其中的原因也很简单：朋友多的人更有可能是你的朋友，所以你的朋友很有可能有比你多的朋友.不过也不用伤心，同样的道理，你的敌人也会有更多的敌人.

公交车和朋友看似离的很远，实则非常相似，他们背后都是同一个悖论——检查悖论.

等待时间的数学期望：

E = \frac{1}{2} \left( \mu + \frac{\sigma^2}{\mu} \right)

$\mu$ ：公交车平均到站时间间隔
$\sigma^2$ ：公交车到站时间间隔的方差

朋友的朋友数的数学期望：

E = \mu + \frac{\sigma^2}{\mu}

$\mu$ ：所有人的平均朋友数
$\sigma^2$ ：朋友数的方差

生活中的检查悖论无处不在，我们的经验会因为观察世界的方式而变化比如一个学校里有一个人多的大班和一个人少的小班，你想调研一下班级的平均人数，从两个班随机挑选十个人询问，这样你的结果很大概率是偏大的，因为大班的学生本来就更容易被抽到，所以结果一定偏大，正因为你是从你是从人数中抽样来调查班级的平均人数，你自以为的随机抽样就不随机，你的采样方式就是偏见的来源.

你对世界的接触构成了你的认知，但时刻记得，世界很大，学会接纳，下次等不到公交车的时候，你会知道现在的烦躁不过是检查悖论罢了，朋友放下烦恼，快乐生活吧.

数学界"照妖镜"：本福特定律——谁造假，谁翻车！

你有没有过这样的灵魂拷问：随便抓一把现实里的数字——国家面积、人口、股价、账单、网红粉丝数......这些数字的首位，从1到9哪个数字最多？99%的同学都会脱口而出："当然一样多啊！1到9首位的数字个数是一样的啊，比如百位数中以1到9为首位的数字是一样多的，每个都是1/9!"

停！先别着急下结论！今天我要告诉你一个离谱到怀疑世界的真相：在真实世界里，数字1疯狂霸占首位近30%，数字2紧随其后占17%，数字越往后越落魄，到数字9更是只有4.6%.

这不是玄学，不是巧合——这就是数学界最反直觉、最搞笑、又最硬核的本福特定律.它堪称：数据界测谎仪、造假者终结者、会计审计保命神器.

它的诞生：一本被翻烂的对数表

故事要从1881年说起......有个叫纽康的天文学家，在图书馆翻对数表时，发现了一件怪事：这本书前几页脏得发黑、全是折痕，后面几页却崭新得像从没被人碰过.正常人只会想：前面内容用得多呗.但天文学家的脑回路不一般——这说明大家查的数字，大多以1、2开头！他随手记了一笔，然后就被大家遗忘了.

直到半个多世纪后的1938年，一个叫本福特的物理学家闲不住，决定当一回"数字侦探".他疯了一样收集了两万多个数据：河流长度、国家人口、原子量、股价、财报、甚至报纸上随便抄的数字......一通疯狂统计后，他直接惊呆了：所有自然数据，首位分布居然不是平均的！

于是，这条定律就用了他的名字：本福特定律（Benford's Law）.简单说就是：在真实世界里，数字首位不是平均分布，而是1最多，依次递减，9最少.把概率摆出来，你会更震撼：

本福特定律：数字1–9的首位概率分布

数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
——---- ——- ——- ——- —— —— —— —— —— ——
概率 30.1% 17.6% 12.5% 9.7% 7.9% 6.7% 5.8% 5.1% 4.6%

: 数字1--9的首位出现概率

满足 $P(d) = \lg(1+\frac{1}{d})$ .

看懂了吗？"1"出现的次数几乎是"9"的6倍多！你第一反应一定是：这怎么可能？！别急，下面用一个小故事让你秒懂.

为什么1最多，9最少？

假设你有1万块存在银行里，每年都能稳定复利赚钱.

从 1万 → 2万：要涨100%，超级慢，你在"1开头"待超久.

从 2万 → 3万：只要涨50%，快一点.

......

从 8万 → 9万：只涨12.5%，唰一下就过去了.

结论：数字越小开头，停留时间越长，出现概率越高.

现实世界几乎所有东西都是这么长的：人口、经济、公司规模、河流、山峰、粉丝数、股价、交易量......全是乘法增长、指数增长，不是死板地1、2、3、4往上加.所以，小数字天生赢在起跑线上.

更离谱的是，这定律还有"变形金刚体质"：换单位，规律不变！公里换英里、千克换磅、人民币换美元......数据整体乘一个数，首位分布纹丝不动——这就叫尺度不变性.

它最牛身份：造假者的一生之敌

本福特定律最厉害的地方，不是数字好看，而是它专治各种造假.

你知道人类造假有个共同bug吗？编造数字时，人会下意识别太规律、别太集中、尽量均匀一点，以显得"很随机、很真实".结果一均匀，直接露馅！因为真数据乖乖服从本福特定律，1多9少.而假数据强行均匀，曲线立刻畸形.于是，这条定律直接变成了财务测谎仪、税务照妖镜、选举打假神器、造假者噩梦.

审计师查账先不看明细，不翻凭证，直接把营收、流水、费用拉出来，统计首位分布.一旦曲线不对，直接标红，造假嫌疑拉满！全球好多财务造假案，最早不是人查出来的，是数字自己"出卖"了主人.

本福特定律虽然强，但脾气很挑，不是什么数字都管.这些情况，它直接摆烂不生效：

人工编的号码：手机号、身份证、学号、彩票、工号......人类规定好的，它不管.
范围卡死的数据：身高、成绩、年龄、气温......区间太窄，跨不出量级，它不管.
被人动过手脚的数字：价格尾数9.9、强行凑整、人为限制......不自然，它不管.

一句话总结：只有自然长出来、跨越好几个量级、没人管的数字，才听它的话.

下次你看到一堆真实数据时，随手玩一玩：公司财报、城市人口、股票价格、河流长度、网红粉丝数，数一数首位："1"是不是特别多？"9"是不是少得可怜？

如果是——恭喜你，你刚刚亲眼撞见了一条宇宙级数学定律——本福特定律.它告诉你一个超酷的道理：世界看似混乱，其实极度有序.只要你愿意多看一眼，平凡的数字里，也藏着惊天的浪漫.

一瓶球的奇遇：走进Littlewood悖论

想象一个空花瓶和无限多个编号的球.

第1步：放入1-10号球，然后取出1号球.（瓶中剩9个）

第2步：放入11-20号球，然后取出2号球.（瓶中剩18个）

第3步：放入21-30号球，然后取出3号球.（瓶中剩27个）

...

以此类推，每次放入10个新球，取出编号最小的那个球.假设每一步的时间是上一步的一半，那么在有限时间内（比如1分钟内）可以完成无限次操作 .

那么当你完成了无穷多次操作之后，花瓶里还剩多少个球呢？

或许你的第一反应是：每次放入10个，取出1个，净增9个，无穷次操作后，就会有9倍无穷多的球，那肯定是无穷多个球啊！这符合我们的直观感受，毕竟瓶子里的球数在不断增加.

然而，数学却会告诉你一个截然不同的答案：瓶子里一个球都没有！这是为什么呢？

让我们换一个角度思考.编号为1的小球，在什么时候被取出来了呢？很显然，第1次它就被取出来了.那么编号为2的小球什么时候被取出来的呢？自然是第2次的时候.让我们再换一个更大一点的编号，比如编号1356008的小球，他在第1356008次的时候被取出来了.以此类推，第N个小球，一定在第N次被取出来了.无论你挑出哪一个编号的球，比如那个巨大的葛立恒数编号的球，它也总会在未来的某一个特定步骤被取出.因为操作进行了无穷多次，所以所有被放入的球，最终都会被取出来.既然每一个球都"注定"会被取出，那么在无穷次操作的终点，瓶子里自然就空空如也了.

这个看似荒谬的结论，就是著名的"罗斯-利特尔伍德悖论".它揭示了我们在处理"无穷"这个概念时，直觉可能会带来的陷阱.

这个悖论的核心，在于两种不同的"极限"定义产生了冲突.一种是"数量的极限"，我们只关注每次操作后瓶子里球的总数，这个数字确实在不断增大，趋向于无穷.另一种是"集合的极限"，我们关注的是每一个具体球的命运.从集合论的角度看，如果一个元素最终不属于这个集合，那么它就不会出现在最终的结果里.在这个悖论中，每个球最终都被移除了，所以最终的集合是空集.

这就像一个拥有无穷多个房间的旅馆，每个房间都住着客人.现在，让1号房间的客人搬到2号房，2号房间的客人搬到3号，3号搬到4号......以此类推.结果你会发现，虽然旅馆里一直都有客人，但1号房间却神奇地空了出来.在无穷的世界里，整体的性质不能简单地从局部的、有限的情况推导出来.

Littlewood悖论也让我们思考"完成无限次操作"在现实中是否可能.显然，我们无法在物理世界中真正完成无限次动作.但作为一个思想实验，它的价值在于挑战我们的常识，迫使我们用更严谨、更深刻的数学语言来描述世界.

对于刚刚接触集合论和极限概念的我们来说，这个悖论是一扇通往奇妙数学世界的窗户.它告诉我们，数学的美妙之处，不仅在于它能解决实际问题，更在于它能揭示那些隐藏在直觉背后的深刻真理.下一次当你面对一个反直觉的数学结论时，不要急于否定，也许你正站在一个新认知的门槛上.

所以，回到最初的问题，花瓶里到底有几个球？答案取决于你选择用哪种数学框架去理解它.但更重要的是，这个思考的过程本身，已经让我们领略了无穷世界的壮丽与神秘.

数学情诗

\sin\frac{1}{x}

我的心跳就像 $\sin\frac{1}{x}$ ，
愈发靠近零，
就愈发震荡不停，
触及的那一顷，
一切却化为泡影.

数学情话一则：我是9，你是3，我除了你还是你.

二元一次方程组与线性映射

在学习完一次函数后我们已经知道，求解一个二元一次方程组就是求两个二元一次方程所代表的直线的交点坐标，两条直线平行时方程组无解，重合时有无穷多组解.而在学习完一元二次方程的求根公式后，我们又对二元一次方程组有了新的想法.

对于一个一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ ，它的解是

\begin{equation} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \end{equation}

那么是否存在一个类似的式子来表示二元一次方程组的一组解呢？

对于一个二元一次方程组

\begin{equation} \begin{cases} ax+cy=m,\\ bx+dy=n, \end{cases} \end{equation}

将第一个方程乘以 $b$ ，第二个方程乘以 $a$ ，得

\begin{align} abx+bcy &= mb, \\ abx+ady &= an. \end{align}

用 [eq:3] 减去 [eq:4]，通过移项可以得到

\begin{equation} y = \frac{an-mb}{ad-bc}, \end{equation}

类似地可得

\begin{equation} x = \frac{md-nc}{ad-bc}. \end{equation}

此时我们就得到了二元一次方程组的"求根公式".观察上述两个式子的公共部分 $ad-bc$ ，我们发现了这个式子很多神奇的性质.

在一元二次方程的求根公式中，当 $\Delta<0$ 时，方程无解，因为根号下是负数时在实数域内无定义.而当 $ad-bc=0$ 时，这个二元一次方程组出现了两种情况，第一种是有无穷多组解，另外一种情况是无解.这是因为分母中的数字不能为 $0$ .怎么理解无穷多组解和无解这两种情况呢？我们查阅了资料，发现这与线性映射有着深刻的联系.

先以一个二元一次方程组为例：

\begin{equation} \begin{cases} 2x+3y=8,\\ x+2y=5, \end{cases} \end{equation}

可以得到 $x=1,\;y=2$ .在解方程组的过程中，我们究竟对这两个式子做了什么呢？只是简单的求解吗？实际上，我们对整个坐标系进行了一次变换.接下来，我们将深刻揭示解方程组这一过程，这两个式子究竟发生了什么，从而解释无穷多组解，无解和唯一解这三种情况发生的原因.

我们先来看坐标系内的三角形的面积计算公式.三角形的面积计算公式想必大家都很熟悉了，是 $\frac12 \times \text{底} \times \text{高}$ ，但如果将一个三角形放到坐标系中就不那么好算了.若一个顶点的坐标在原点，另外两个顶点坐标是 $(a,b)$ ， $(c,d)$ .根据三角形的面积还等于 $\frac{1}{2} \times \text{水平宽} \times \text{铅垂高}$ ，此时，我们就可以通过推导得到坐标系内的三角形面积计算公式，即

\begin{equation} \frac12|ad-bc|. \end{equation}

我们还可以对这个式子进行拓展，可以得到坐标系内以两条线段为邻边，其中一个点在坐标原点的平行四边形的面积就等于 $|ad-bc|$ .实际上，这就是向量的叉乘得到的.

这个式子是不是和我们推导出的二元一次方程组的"求根公式"中的 $ad-bc$ 形式一样呢？这里面就蕴含着极其深刻的原理.

接下来再来观察 $2x+3y=8,\;x+2y=5$ ，这个方程组中 $x$ 前的系数分别是 $2$ 和 $1$ ， $y$ 前面是 $3$ 和 $2$ ，若将这两组数看作坐标，放到坐标系内，记作点 $A$ 和 $B$ ，再以 $OA$ ， $OB$ 为邻边做一个平行四边形 $OACB$ .（见图 7.1）

此时这个平行四边形面积就等于 $ad-bc = 1$ .这究竟代表着什么呢？

其中，线段 $OA$ 和 $OB$ 实际上由 $x$ 轴和 $y$ 轴上的一组正交基底经过伸缩和变换拉到了 $OA$ 和 $OB$ 上，也就是说 $OA$ 和 $OB$ 是新的坐标系的 $x$ 轴和 $y$ 轴， $OA$ 向量和 $OB$ 向量变成了新的坐标系的基底，这种坐标系的变换就是线性映射的一种.这种映射实际上就是由 $x$ 和 $y$ 的作用引起的，我们解方程组就是将变换后的坐标系"还原"，将映射后的点通过逆映射复原.

那无解和无穷多组解的本质是什么呢？我们先来看一个二元一次方程组

\begin{equation} \begin{cases} x+2y = 1,\\ 2x+4y = 2. \end{cases} \end{equation}

$x$ 前的系数是 $1$ 和 $2$ ， $y$ 前面的系数是 $2$ 和 $4$ ，将其放在坐标系中.（见图 7.2）

很容易发现这两个向量重合了，也就是说坐标系经历变换后 $x$ 轴和 $y$ 轴重合在了一起，变成了一条直线.（见图 7.3）

原本二维的坐标系被压缩成了一维的一条直线，此时 $ad-bc$ 就等于 $0$ ，它的几何意义就是两条线段重合围成的平行四边形面积是 $0$ .这条直线上的每个点都是线性映射后得到的点，因此方程组有无穷多组解，每一组解都是这条直线上的点.

如果 $x+2y = 1,\;2x+4y = 2$ 这个方程组第二个式子变成 $2x+4y = 3$ 会发生什么呢？观察这个方程组最后一列的两个数 $2$ 和 $3$ ，再把它放到坐标系中.（见图 7.4）

观察到点 $P$ 在直线 $y=2x$ 外面，也就是说点 $P$ 不在变换后的坐标系当中，找不出任何一个点 $(x,y)$ 经过线性映射至点 $P$ ，此时这个方程组就无解了.

经过这两种情况的对比，我们可以发现，方程组有唯一解时，两个向量并不重合，新的坐标系仍是二维平面，而方程无解或者有无穷多组解时，整个平面进行了一次维度的压缩，变成了一维的.我们将类似的空间维度称为这个方程组的秩，比如方程组 $x+y=1,\;2x+3y=5$ 的秩就是 $2$ ，方程组 $x+5y=10,\;2x+10y=20$ 的秩就是 $1$ .

同样的，对于未知数更多的方程组，我们可以用上述的方法判定解的情况，而" $ad-bc$ "就要用三阶行列式做出相应调整，其几何意义也变成了平行六面体的有向体积，在更高维的空间中亦是如此.实际上，这是方程组的系数行列式，我们可以通过克莱姆法则解出这类线性方程组.

这其实就是线性代数这门学科的基本原理和本质.线性代数在人工智能 AI，动画 CG 技术，线性规划以及生活中的各个方面有着广泛的应用，为现代数学发展奠定了重要基础.

研究数学就是要从不同的角度看问题，学会联想，研究，从探究事物中获得新的知识，这也就是《大学》中提到的格物致知精神.格物致知精神不仅是推动现代数学和自然科学发展的最重要的动力之一，也是我们学习和提高数学的最重要前提.

几何之美

起源与早期几何

几何学的起源可追溯至古代文明的生产实践，最初主要是实验几何.古埃及人为了土地测量而积累了初步的几何知识，古巴比伦人也掌握了复杂的几何原理，例如在一块距今约3700年的泥板上，就记录了勾股定理的早期形式.中国古代的《墨经》和《九章算术》中也包含了丰富的几何概念和计算方法，如《墨经》中对圆、直线、平行等概念的定义.这些早期的几何知识主要基于经验和直观，缺乏严密的逻辑证明体系，被称为实验几何.

塞瓦定理

定理 8.1 (塞瓦定理). 在 $\triangle ABC$ 内任取一点 $O$ ，延长 $AO, BO, CO$ 分别交对边于 $D, E, F$ ，则有

\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

与之相关的还有梅涅劳斯定理：在上图（图 8.1）中，对于 $\triangle ABD$ 和截线 $FOC$ 有

\frac{BC}{CD} \cdot \frac{DO}{OA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1.

两个定理是刻画三线共点和三点共线的重要定理.这两个定理都可以通过面积方法证明.

莫利定理

定理 8.2 (莫利定理). 将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三等分线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.

我们不妨用正弦定理和余弦定理来证明它：

如图，设 $\angle BAC = 3\alpha$ ， $\angle ABC = 3\beta$ ， $\angle BCA = 3\gamma$ ，则 $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{3}$ .设 $\triangle ABC$ 外接圆半径为 $R$ .

在 $\triangle ABD$ 中，由正弦定理有

AD = \frac{AB}{\sin(\alpha + \beta)} \sin\beta = \frac{2R \sin 3\gamma}{\sin(\alpha + \beta)} \sin\beta,

利用三倍角公式

\sin 3\gamma = 3\sin\gamma - 4\sin^3\gamma = 4\sin\left(\frac{\pi}{3} - \gamma\right) \sin\gamma \sin\left(\frac{\pi}{3} + \gamma\right),

所以

AD = 8R \sin\gamma \sin\left(\frac{\pi}{3} + \gamma\right) \sin\beta,

同理，有

AF = 8R \sin\beta \sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right) \sin\gamma.

在 $\triangle AFD$ 中，由余弦定理有

FD^2 = (8R \sin\beta \sin\gamma)^2 \left[ \sin^2\left( \frac{\pi}{3} + \gamma \right) + \sin^2\left( \frac{\pi}{3} + \beta \right) - 2\cos\alpha \sin\left( \frac{\pi}{3} + \gamma \right) \sin\left( \frac{\pi}{3} + \beta \right) \right],

构造外接圆直径为1的 $\triangle ABC$ ，其中 $\angle B = \frac{\pi}{3} + \beta$ ， $\angle C = \frac{\pi}{3} + \gamma$ ，则 $\angle A = \alpha$ .

由正弦定理和余弦定理立得

\begin{align*} \sin^2\left( \frac{\pi}{3} + \gamma \right) + \sin^2\left( \frac{\pi}{3} + \beta \right) - 2\cos\alpha \sin\left( \frac{\pi}{3} + \gamma \right) \sin\left( \frac{\pi}{3} + \beta \right) &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A \\ &= a^2 \\ &= \sin^2\alpha, \end{align*}

因此

FD^2 = (8R \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma)^2,

同理可得

\begin{align*} EF^2 &= (8R \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma)^2,\\ ED^2 &= (8R \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma)^2. \end{align*}

故 $EF = DE = DF$ ，因此 $\triangle DEF$ 是等边三角形.

西姆松定理

定理 8.3 (西姆松定理). 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点 $P$ ，向三角形的三边（或其延长线）作垂线，三个垂足共线，这条直线称为西姆松线.

如图 8.3，设 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆上任一点，从 $P$ 点向三边 $BC, CA, AB$ 所在直线作垂线，垂足分别为 $L, M, N$ .

连接 $PA, PC$ ，由 $P, N, A, M$ 四点共圆，得

\angle PMN = \angle PAN = \angle PAB = \angle PCB = \angle PCL.

又因为 $P, M, C, L$ 四点共圆，有

\angle PML = \angle PCL.

故

\angle PMN = \angle PML.

即 $L, M, N$ 三点共线.

数学家印象

引言

阿数：哎呀，烦死了！立体几何没学会，代数题海做不对，字母数字一大堆，函数看着要反胃......自变量、因变量、平面几何、立体几何、洛必达法则、偏微分方程......如果把数学界所有理论放在一起，那可谓是数学界的《报菜名》了。数学家们真的只是因为无聊才想出这些理论吗？有时候真怀疑他们是不是在发明新的刑具......

阿学：......（亿点无语）好吧，从某种意义上说数学确实有那么一点点难。

阿数：什么？！一点点？

阿学：嗐，不说这个......对了阿数，你对数学家们有什么总体印象吗？比方说他们的品质、性格什么的。

阿数：怎么，语文没学好上我这补习来了？数学家嘛，不就是有钻研精神、严谨、有想象力、敢于突破吗？但是性格......大概也就是比较坚强吧......而我对他们的总体印象，抛开数学题不谈，就是严格行事，严谨研究，有了成果后虽然有喜悦，但并不会骄傲自满，反而深耕于自己的研究。就拿最近证明三维 Kakeya 猜想（挂谷猜想）的美籍华裔数学家王虹（Hong Wang）来说吧，这个百年难题在数学界迟迟未被攻破，却因王虹与合作者 Joshua Zahl 丰富的知识积累和小小的突破而被解决，这无疑是值得开心的一件事。但当记者采访她时，她却表示解决这个问题确实让她感到喜悦，但她还想静下心来继续致力于更深入的研究。你看，这不就是我说的数学家形象吗？[@wang2025kakeya; @quanta2025kakeya]

阿学：确实是的，你还结合了王虹的例子向我说明，我无话可说。但是呃......好吧，我并不是来这里补习的，而是想向你揭示一样东西。

阿数：什么东西？

阿学：数学家们的另一面。你刚才提到数学家们的成就，但是并非全部数学家在他们辞世之前都有被数学界所认可的成就。有些数学家有了自己的研究成果，却在发表后因种种原因被同行不认可，甚至受到迫害，最终只能抱憾而终......

说到数学家，你脑子里出现的是什么画面呢？又能联想到数学家们的哪些品质和性格呢？你有真正了解过数学家们吗？总之作者第一次听说数学家、科学家相关的词时，脑中浮现的也是数学家、科学家们为人严谨、获得成就后有些许喜悦，但并未影响他们下一步的研究的形象，直到我开始深入了解他们，才知道，数学家们并非只有"不断取得成就"这一光明的一面，还有被否认、被抨击的另一面。而今天，就让我们说说数学家们经历的风霜，看看这鲜为人知的"另一面"。

康托尔

记得数学必修一的第一章吗？不错，它是集合相关知识。如果你细心，便可以看到书上写着"感兴趣的同学可以了解康托尔集合论"，并配上了康托尔的照片，不错，就是这张（图 9.1）。

阿学：阿数，看了这张照片，你知道康托尔晚年在哪里度过吗？

阿数：阿学，别逗我了，光看这张照片，怎么可能知道。

阿学：确实。你可以猜一猜。

阿数：养老院（抢答）。

阿学：......不是，是哈雷大学的精神病诊所。

不错，康托尔晚年大部分时间都在一个精神病诊所度过，原因是他得了躁郁症。让我们将时间拨回至1884年，以第一人称视角，细细掰扯掰扯：

五月起诱因，"祸"发连续统

我是康托尔。1884年5月，我提出"一维连续统（实数直线）与二维平面、三维空间......任意有限维空间具有完全相同的基数"的证明，本以为会推动数学发展，却受到以克罗内克为首的主流数学家强烈抵制。他甚至公开称我的理论为"神秘主义""空洞无物"，骂我"青年腐蚀者"，并阻挠我的论文发表。我长期致力于证明"连续统假设"而始终没有突破，一度陷入自我怀疑。我受尽他人批评、有过自我怀疑，敏感脆弱的性格让我的心理防线不断崩溃，最终被诊断为躁郁症。[@dauben1990; @cantormactutor]

假设无进展，悖论初问世

（1899年夏）唉，我的连续统假设仍无进展。一个平常的一天，我在集合论中发现了一个悖论（"康托尔悖论"，即"所有集合的集合"会导致矛盾），这个悖论让我苦心研究的连续统假设被动摇，唉，难道我的努力都是飞灰吗......

我永远忘不了那个严酷的寒冬——那个刺骨的冬日。因为我最小的儿子 Rudolf 的生命......永远被封存在了那最后的寒光里......

短暂清醒期，研究超穷数

（1907.10——1908.6）我又清醒了......没错，不知道这是我第几次清醒，也不知道我经历过几次痛苦。呵，还是趁我清醒的时候研究一下超穷数理论吧......

病院"锁"余生，身心双折磨

（1917.5——1918.1.6）1917年5月，精神病院，我又来了。我记得三十多年前，有个叫克罗内克的人，他说我搞"神秘主义"；记得十八年前，那个严酷的寒冬，封存着我最小的儿子的躯体与灵魂；记得十年前某个清醒的夜晚，我看着纸上的超穷数理论，一言不发......

我走了，在1918年的寒冬。我看见了冬日的暖阳，只可惜，我没能和儿子在那个冬日相遇......

我不是被数学逼疯的，而是被数学界逼疯的.

陆家羲

阿学：阿数，说说你知道的中国数学家。

阿数：这可难不倒我。祖冲之、刘徽、李善兰、......

阿学：好好好，确实难不倒你。那你有没有听过这么个名字——陆家羲。

组合数学经典难题，首次攻克投稿无门

我是陆家羲。1961年，我从东北师范大学物理系毕业，去包头中学任教。任教之余，我完成了对柯克曼女生问题的完整证明，并撰写了论文，但论文石沉大海，迟迟得不到回应。我没有放弃，多次向《数学学报》《数学通报》等国内权威期刊投稿，收到的却是以"缺乏创新""作者单位不符"等为由的退稿、搁置信息......

柯克曼女生问题：由英国数学家托马斯·柯克曼于1850年提出。问题为：有15名女生每天散步，需按3人一组分为5组。如何安排连续7天的分组，使得任意两名女生在整个周期中恰好仅同组一次？

不愿放弃改名再投，仍遭冷遇未入评审

1965年3月14日，我将修改后的论文再次投给《数学学报》。可惜啊......我仅仅是一名中学老师，缺乏学术背景支持，我的稿件再次被搁置，未进入实质评审流程......

从1961年到1965年，我三次投稿均以失败告终。唉......只能这样了吗？

国际学界"抢先"发表，中学教师错失首发

1979年，我从北京图书馆借阅到了马歇尔·霍尔的《组合论》。反复翻阅后，我震惊地确认：早在1960年代初，我就已独立解决了柯克曼女生问题。而国际上，美籍印裔数学家 D. K. Ray-Chaudhuri（查德哈里）和美国数学家 R. M. Wilson（威尔逊）在1968年的一次会议上报告了这一结果，并于1971年正式发表在《纯粹与应用数学专题讨论会论文集》（Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 19, AMS）。[@raychaudhuri1971; @ams1971combinatorics]

我的研究，比他们的公开报告早了约七年，比正式发表近十年。这份成果如同一颗埋藏多年的种子，本该在更早的时候绽放，却因种种缘由，始终未能及时公之于世。

组合设计百年难题，再次投稿无人理会

（1979年）既然我的稿子没人发表，那我就转向斯坦纳三元系大集问题吧......

坐标纸呢？（翻找坐标纸，只找到几张废弃的坐标纸）不对，马上要上课了......（把纸放在一边，拿上教材去上课）

（课余时间努力思考问题，从旁边拿出一张备课纸，写下公式）

（1980年）论文终于写好了！（陆家羲的系列论文《论不相交斯坦纳三元系大集》提出独创性递推构造方法。该系列论文宣告除六个例外值以外，该问题已整体解决）（迫不及待投稿）可惜啊，我的投稿无人理会。

斯坦纳三元系大集问题：斯坦纳三元系（简称 $\text{STS}(v)$ ， $S(v)$ ）是指：给定一个包含 $v$ 个元素的集合，将其所有 $3$ 元子集（称为"区组"）进行划分，使得任意两个元素恰好同时出现在一个三元组中。斯坦纳三元系大集问题追问：一次能否构造出 $v-2$ 个两两不相交的斯坦纳三元系？

经人帮助发表成果，震惊西方高度评价

1981年，苏州大学的朱烈副教授帮助了我，我的论文被寄往美国《组合论杂志》。一个月后，编辑回信，我的论文被接受发表。

1982年起，我的六篇系列论文陆续刊出，总篇幅达99页，引起国际数学界震动。加拿大数学家门德尔逊评价："这是二十多年来组合设计领域最重大的成就之一。"多伦多大学校长称我为"闻名西方的组合理论数学家"。西方数学界高度认可我的成果，但国内数学界却一无所知。

作为代表参加会议，会议结束猝然离世

1983年10月，我作为唯一中学教师代表，受邀参加在武汉举行的全国组合数学学术会议。当我在报告中宣布"我解决了斯坦纳三元系大集问题"时，台下院士们集体起立鼓掌。会议结束后，我连夜返程回包头。10月31日凌晨，由于长期积劳成疾，我突发心脏病去世，年仅48岁。金秋十月，埋藏了我，埋藏了我的研究成果......

在我去世前后，加拿大数学家门德尔逊来华讲学。他质问："你们中国不是有陆家羲吗？为什么还请我来讲组合数学？"正是这一质问在中国学术界"炸开"，他们开始重新审视我和我的成果......

研究成果身后追认，成就非凡荣耀迟到

1983年的金秋十月，我的生命永远定格在了那一刻。"无边落木萧萧下"，我也如同这片片落叶，飞奔向这生我养我的大地......

1984年：《数学学报》终于全文刊发我二十三年前投稿的关于"柯克曼问题"的论文；
同年，中国组合数学学会成立"陆家羲学术工作评审委员会"，正式确认其成果的优先性与重大价值；
1987年：我的《关于不相交斯坦纳三元系大集的研究》被国家科委追授国家自然科学奖一等奖；
1989年3月：妻子张淑琴代表我在北京人民大会堂领奖，全场肃然.

迟到的成就，追赶不上我离世的匆匆......

胡和生

阿数：阿学，除了王虹，你还听说过哪些女数学家？

阿学：我们所听说的数学家，如欧拉、高斯，大部分为男性，但女性数学家也在建立数学大厦的过程中发挥着重要作用。我听说过的女数学家有胡和生、唐青云、希帕提娅、艾米·诺特......

阿数：的确，女数学家们也用自己非凡的才智，在数学的画卷中添上了浓墨重彩的一笔。她们遭受的挫折并不比男数学家们少，但她们仍然以坚定的意志，书写着"巾帼不让须眉"的灿烂篇章。那我们就从我国第一位女数学院士——胡和生说起......

政治运动冲击科研，中断研究遭受批判

我是胡和生。20世纪50年代末至"文化大革命"期间，中国学术界屡受政治运动干扰，基础理论研究被斥为"脱离实际""白专道路"。我作为专注于微分几何的学者，首当其冲受到冲击。1958年，我被扣上了一顶名为"理论脱离实际"的帽子，成为批判对象之一。1966年"文革"开始后，科研、教学工作被迫终止，我一度停止学术活动，接受批判、参加劳动。尽管如此，我始终坚信：科学的春天终究会来临。

国际交流完全中断，前沿文献难以获取

特殊历史时期，国内外学术交流几乎完全中断，我只能依靠有限的俄文、英文资料自学新理论，坚持阅读、思考，不断拓展自己的知识边界。苏联探亲期间，我无暇顾及美丽的风光，专心于广义相对论与弹性力学的厚本专著，只为尽快掌握可用于理论结合实际的新工具。

性别偏见隐形障碍，实力打破性别壁垒

"数学不是女同志适合的专业""女生学数学，逻辑思维弱，搞不了理论研究"......一声声质疑传入我的耳朵：女生真的不适合学数学吗？不，我要以行动作出我的回应，我要打破这个性别壁垒！

我不断吸收知识、提高实力，在男性主导的微分几何领域站稳脚跟。终于，在1991年，我成为了中国数学界第一位女院士。

长期住院忍受病痛，坚持思考继续研究

晚年，我因健康原因持续住院十余年，即使身处病床，但我并未把自己当作一个柔弱的病号看待。我继续思考，努力研究，继续撰写论文、指导学生、出版学术著作。"生命不息，研究不止"。

即使存在性别偏见，但我亦会以知识为炮，轰开性别壁垒.

阿学：胡和生作为女性数学家，由于人们的偏见，导致她的研究比男性数学家更加困难：在接受学术挑战的同时，她还要承受"女性不适合学数学"等偏见思想的压迫。她当年冲破性别壁垒的过程并不像上面所说的只是努力、吸取知识便一举获得成功。即使当年胡和生取得了十分显著的成就，但部分同行仍把她的成就看作是女性在数学方面取得成就的"特例"，并非女性整体潜力代表。这种"例外"看似是对胡和生的褒奖，实际上仍是暗示"大多数女性不行"。总之，由于种种原因，对于女性的性别偏见如同密密麻麻的根须一般深深植根于人们的心中，阻碍着女数学家们在数学方面取得突破和成就。

阿数：不错。对于现在，学术界仍存在少量的性别偏见，它们并不像胡和生那个时代以公开歧视言论存在，而是嵌入制度、文化与无意识行为当中。性别偏见在今天仍然以显性或隐性的方式存在，但越来越多的机构开始认识并正在改变这一现状。相信未来的某一天，性别壁垒终将被打破。

结语

总之，数学家们并不是想象中的整日沉溺于公式当中、不闻世事，无论发生什么都只专心于研究。事实上，他们也是人，也有血有肉，在经受打击时仍然会感到痛苦、无奈，甚至有的人为此搞垮了身体。即便人生路上困难重重，但正是他们一次次的坚持与突破，造就了我们眼中坚强、伟大的数学家形象。

古算经中的学习之道

"夫道术所以难通者，既学矣，患其不博^[1]。既博矣，患其不习^[2]。既习矣，患其不能知^[3]。"
——《周髀算经》

译：(人们)之所以难以精通(算术)，是因为(人们)学习后顾虑学得不够渊博，学得渊博后顾虑不够专心研习，专心研习后顾虑自己不能掌握全部知识。

"夫算者，历亿载而不朽，施八极而无疆^[4]。散之不可胜究，敛^[5]之不盈掌握。"
——《孙子算经》

译：数学经历了亿万年依然不见衰败，即使抵达八方之远也无法研究至尽。(数学这门学问)，如果扩散开来，难以穷尽深究；如果收敛专攻，也能了然于胸、收放自如。

"夫欲学之者，必务量能揆^[6]己，志在所专。如是，则焉有不成者哉。"
——《孙子算经》

译：想要学习(数学)的人，一定要量力而行、审视自身，志向专一。像这样去做，哪里有不成功的道理。

阿基米德和笛卡尔

笛卡尔：在梦境中开启解析几何新纪元

1596年，勒内·笛卡尔出生于法国一个贵族家庭.他自幼体弱多病，却对世界充满好奇，尤其痴迷数学与哲学.

1619年，23岁的笛卡尔在军队服役.一天夜晚，他独自待在营房里，因寒冷钻进暖烘烘的被窝.在半梦半醒间，他仿佛看到天花板上蜘蛛在织网，蛛丝随着蜘蛛的移动不断变化位置.突然，一个念头闪过：能否用数学方法描述蜘蛛的位置变化呢？

这个梦境成为他思想的转折点.此后，他深入研究，将代数与几何相结合，创立了解析几何.他用坐标系将几何图形转化为代数方程，让几何问题能用代数方法解决，反之亦然.这一伟大创举，为数学发展开辟了新道路，让数学从单一领域迈向多学科融合.

笛卡尔的"我思故我在"哲学理念也影响深远，而他在数学上的突破，更是如璀璨星辰，照亮了人类探索数学奥秘的征程.

阿基米德：沐浴中的科学巨匠

公元前287年，阿基米德诞生于古希腊叙拉古城.他自幼痴迷数学，常沉浸于几何图形的奥秘中.

一次，国王让阿基米德鉴定一顶金冠是否掺假，且不能破坏金冠.阿基米德苦思冥想多日无果，直到在浴盆中洗澡时，他注意到身体浸入水中，水会溢出.这一平常现象瞬间点燃了他的灵感，他兴奋地跳出浴盆，大喊"尤里卡"（我找到了），光着身子跑上街头.原来，他发现了浮力定律：物体在液体中受到的浮力等于它排开液体的重量.利用这一原理，他成功解决了国王的难题.

阿基米德不仅在力学领域贡献卓越，在数学上，他完善几何体系，提出"穷竭法"，为微积分学发展奠定基础，还精确估算圆周率.他的著作如《论球和圆柱》等，是几何学的经典之作.阿基米德用智慧照亮了数学与科学的天空，成为后世敬仰的科学巨匠.

关于三块蛋糕的研究报告（一）

设想以下的场景：甲、乙、丙三个盲人并排坐在一张桌前，小沐先生在甲和乙、乙和丙中间各放了一个蛋糕. 甲只能拿到甲和乙之间的蛋糕，乙可以拿到两个蛋糕，丙只能拿到乙和丙之间的蛋糕. 三位盲人并不知道自己手边的蛋糕有没有被吃掉，只有当他们产生了吃蛋糕的冲动之后，才会伸手去碰身边的蛋糕，并且每个人最多只能吃一个蛋糕. 一段时间之后，小沐先生发现甲乙之间的蛋糕被吃掉了，而乙和丙之间的蛋糕还在. 小沐先生陷入了沉思：这块蛋糕是被谁吃掉的？

现在我们需要帮助小沐先生算出蛋糕被甲和乙吃掉的概率分别是多少.

非黑即白谬误

有的同学会非常简单地认为，这块蛋糕在甲和乙中间，不是被甲吃掉的，就是被乙吃掉了，所以他们的概率各自是 $50\%$ . 这是一个很典型的错误，就好比说小沐先生下一秒要么是活的，要么是死的，所以小沐先生下一秒去世的概率是 $50\%$ . 然而我们都知道，小沐先生从出生到现在一直很健康地活着，如果小沐先生在每1秒死亡的概率都是 $50\%$ ，那么这真是史上最大的奇迹.

可是又有同学会疑惑了，为什么有时候用这种"非黑即白"的算法就又可以了呢？比如说让苏雨同学从 $1,2,3,4,5$ 五个数字当中随机选一个，那么每个数字被选中的概率都是 $20\%$ ，这样计算似乎又没有问题. 面对这两种情况，我们需要理解概率的本质. 根据贝叶斯学派的观点，概率是我们依据当前已知的条件，用来描述未知事件可能性的工具. 这里有一个核心是已知的条件，例如从 $1\sim5$ 中随机选一个数字的例子，由于我们对苏雨同学的选择倾向一无所知，因此我们只能假设苏雨同学会平均地进行选择，这是我们根据已有条件做出的最合理判断. 但假如我们知道苏雨同学对奇数更有倾向，那么在计算时就不能对五个数进行概率平分了.

在这道蛋糕问题中也是同样的道理. 如果我们只知道蛋糕要么被甲吃，要么被乙吃，那么两个人吃掉蛋糕的概率的确都是 $50\%$ ，可现在不一样. 我们知道乙如果想吃蛋糕，可以选择甲和乙中间的，也可以选择乙和丙中间的，他有两个选择；然而如果甲想吃蛋糕，他只有手边的一个蛋糕可以选. 因此甲乙两人的条件是不对称的，我们在计算时也不能简单粗暴地对他们进行概率的平分.

第二种错误

除了上文介绍的非黑即白谬误之外，此题还有一种常见的错误解法. 在此情境当中，我们对三名盲人一无所知，我们并不知道他们对于蛋糕的喜好，因此在现有条件之下，我们可以做出假设：三名盲人都有 $50\%$ 的概率，在从起始时间点到小沐先生观察到蛋糕被吃掉的这段时间内，任意一个时刻，产生吃蛋糕的冲动，并付诸行动. 同时，我们记甲乙之间的蛋糕为 $a$ ，乙丙之间的蛋糕为 $b$ . 有的同学认为，甲吃掉 $a$ 的概率是 $50\%$ ，乙吃掉 $a$ 和 $b$ 的概率各自是 $25\%$ ，因此甲吃掉蛋糕的概率就是 $\frac{0.5}{0.5+0.25}=\frac{2}{3}$ ，如果你是这样想的，那么你就错误了！

为什么？

错误就出在 $50\%$ 与 $25\%$ 以上. 其中的 $25\%$ 是乙产生吃 $a$ 蛋糕的冲动的概率，并不是乙吃掉 $a$ 蛋糕的概率. 因为三个人都是盲人，当乙产生吃 $a$ 蛋糕的冲动的时候， $a$ 蛋糕可能已经被甲吃掉了. 同理，甲吃掉 $a$ 蛋糕的概率也不是 $50\%$ . 事实上，以甲为例，他成功吃掉 $a$ 蛋糕的概率应该为

\begin{equation} P(\text{产生吃}a\text{蛋糕的冲动}) \times P(\text{产生冲动时蛋糕还没有被吃掉}) \end{equation}

这时有的同学就又明白了，他会说：甲产生吃蛋糕冲动时蛋糕还在的概率，就等于乙没有吃 $a$ 蛋糕的概率，也就是 $\frac{3}{4}$ . 所以最终甲吃到 $a$ 蛋糕的概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ ，同理，乙吃到 $a$ 蛋糕的概率为 $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ ，其中 $\frac{1}{4}$ 是乙产生吃 $a$ 蛋糕的冲动的概率， $\frac{1}{2}$ 是甲没有产生吃蛋糕的冲动的概率. 如果你也是这样想的，那么你就Wrong Again 了！

此处笔者先不点明错误的原因，我们暂且就按这种方式算下去，看看会发生什么. 由于能吃 $a$ 蛋糕的只有甲乙两人，所以

\begin{equation} P(a\text{被吃}) = P(\text{甲吃}a) + P(\text{乙吃}a) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2} \end{equation}

而我们又知道

\begin{equation} P(a\text{未被吃}) = P(\text{甲不吃}a) \times P(\text{乙不吃}a) \end{equation}

如果 $a$ 没有吃掉，那么甲乙两人必定都没有产生吃 $a$ 蛋糕的冲动

\begin{equation} P(a\text{未被吃}) = [1 - P(\text{甲产生吃}a\text{的冲动})] \times [1 - P(\text{乙产生吃}a\text{的冲动})] = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \end{equation}

而前文算出 $a$ 被吃的概率为 $\frac{1}{2}$ ，此处算出 $a$ 未被吃的概率为 $\frac{3}{8}$ ， $\frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$ ，剩下的 $\frac{1}{8}$ 是什么？ $a$ 既没有被吃也没有没被吃？

显然这里产生了矛盾，那么我们的方法错在了什么地方？ $a$ 未被吃的概率为 $\frac{3}{8}$ 肯定没有问题，那么问题就一定出在甲乙两人吃掉 $a$ 的概率上. 回顾一下我们计算乙吃掉 $a$ 蛋糕的概率时，用了 $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}$ ，也就是说我们假定了，只有当甲没有产生吃 $a$ 蛋糕的冲动时，乙才有可能吃掉 $a$ 蛋糕，但事实上是不是这样的呢？先前我们根据已有条件做出的假设是：三名盲人都有 $50\%$ 的概率，在起始时间点到小沐先生观察到蛋糕被吃掉的时间点，之间的任意一个时刻，产生吃蛋糕的冲动，并付诸行动. 可以设想，即使甲也产生了吃蛋糕的冲动，乙依然有可能吃掉 $a$ 蛋糕，只要乙产生冲动在甲之前，他就能先于甲吃掉蛋糕. 因此，乙吃掉 $a$ 蛋糕分两种情况：

甲没有产生吃蛋糕的冲动（ $P=\frac{1}{2}$ ），乙产生了吃 $a$ 蛋糕的冲动（ $P=\frac{1}{4}$ ）
甲产生冲动（ $P=\frac{1}{2}$ ），乙产生冲动（ $P=\frac{1}{4}$ ），乙产生冲动在甲之前（ $P=\frac{1}{2}$ ）

最终整合可得以吃到 $a$ 蛋糕的概率为 $\frac{3}{16}$ . 同理计算得甲吃到 $a$ 蛋糕的概率为 $\frac{7}{16}$ . 对两个概率相加，我们可以得到 $a$ 蛋糕被吃掉的概率为 $\frac{5}{8}$ ，与上文计算得到的 $a$ 蛋糕没有被吃掉的概率为 $\frac{3}{8}$ ，恰好吻合. 所以最终可以得到蛋糕分别被两人吃掉的概率

\begin{equation} P(\text{甲}) = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{5}{8}} = \frac{7}{16} \times \frac{8}{5} = \frac{7}{10},\quad P(\text{乙}) = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{16} \times \frac{8}{5} = \frac{3}{10} \end{equation}

是不是很神奇呢？这个问题的原型来源于笔者的日常观察. 一个冬日的午后，笔者走进同学的寝室，驻足在床位前，笔者发现6号床与5号床之间的梯子上贴了海绵，5号床与4号床之间的梯子上并没有贴海绵. 冬天天气寒冷，许多同学会在金属制的梯子上贴海绵，来抵御冰冷. 看到这一幕，笔者不禁陷入沉思：这个海绵是被6号床的主人贴的概率更大，还是被5号床的主人贴的概率更大？

怀着疑问，笔者进行了一番探索，在思考过程中发现贴海绵问题有着太多的干扰因素，因此把问题简化为盲人与蛋糕. 这样简化的好处在于，盲人在产生吃蛋糕的冲动并付诸行动之前，并不知道蛋糕有没有被吃掉，因此一个盲人做出吃蛋糕的举动并不会影响到其他盲人产生冲动的概率. 可是，我们不妨继续思考：

如果甲乙丙三人不是盲人，他们都可以看到蛋糕有没有被吃掉，那么我们的结果还正确吗？

笔者认为，最终的结果不会受到影响. 就此情境而言，在甲乙两人都没有吃蛋糕时，甲和乙是盲人还是正常人没有影响两人产生冲动的概率，而在蛋糕被吃掉之后，另一个人产生吃 $a$ 蛋糕冲动的概率降为零，但这也不会影响到蛋糕被其中一人吃掉这一既定事实，吃蛋糕者的身份不会改变.

关于三块蛋糕的研究报告（二）

双人蛋糕问题的拓展

现在，请想象以下场景：

风和日丽的午后，小沐先生正和苏雨同学一起坐在图书馆，沉浸在阅读中. 此时，调皮的Fish在两人中间放了一颗美味诱人的蛋糕......

苏雨同学和小沐先生都可以选择吃或不吃，那么一段时间之后，蛋糕被小沐先生吃掉的概率为多少？

这里先别急着说 $50\%$ ，我们来分析一下问题. 由于题设情境中，并没有给出两人选择吃与不吃的概率，我们便只能假设小沐先生和苏雨同学吃与不吃的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，并且两个人在任意时段选择吃掉蛋糕的概率都相同.

这里我们先明确两个完全不同的问题，分别记为：

已知蛋糕已被吃掉，求蛋糕是小沐先生吃掉的概率（条件概率）
不预设蛋糕是否被吃，求小沐先生吃掉蛋糕的概率（边缘概率）

对于（1），蛋糕被吃已是事实，而两人条件对称，因此概率都是 $\frac{1}{2}$ .

对于（2），需要在未知蛋糕是否被吃的情况下求其中一人吃掉蛋糕的概率，不仅要考虑蛋糕被吃的概率，还要考虑蛋糕没被吃的情况. （条件概率与边缘概率）

我们来明确思路. 对于小沐先生，他要吃到蛋糕，须满足两个条件：

小沐先生做出了吃蛋糕的选择（ $P = \frac{1}{2}$ ）
小沐先生做出选择时蛋糕还在（ $P = \: ?$ ）

处理条件（2）时，很容易将其误认为是苏雨同学不吃蛋糕的概率，即 $\frac{1}{2}$ . 其错误原因《报告(一)》中已指出，即忽略了两人都做出吃蛋糕选择的情况. 此类谬误的证伪方式《报告(一)》已给出，此处不再赘述.

对于条件（2），计算其概率时，分两种情况讨论：

苏雨同学没有产生吃蛋糕的想法（ $P = \frac{1}{2}$ ）
苏雨同学产生了吃蛋糕的想法（ $P = \frac{1}{2}$ ），产生想法时蛋糕已经被吃了（ $\frac{1}{2}$ ）

由于小沐先生和苏雨同学条件对称，因此若两人都产生了吃蛋糕的想法，那么苏雨和小沐先于另一个人产生想法的概率都是 $\frac{1}{2}$ .

综合两种情况， $P[\text{(2)}] = \frac{3}{4}$ .

所以小沐先生吃掉蛋糕的概率为

\begin{equation} P(\text{小沐}) = P\left[\,(1)\,\right] \times P\left[\,(2)\,\right] = \frac{3}{8} \end{equation}

而苏雨同学吃掉蛋糕的概率也为 $\frac{3}{8}$ . 如果你通过计算蛋糕没有被吃的概率，即两人都没有产生吃蛋糕想法的概率， $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ，从而得出蛋糕被吃的概率为 $\frac{3}{4}$ ，再除以2 求出其中一人吃掉蛋糕的概率，你便会惊喜地发现，用此方法求出的结果，与上文分类讨论求出的结果一致，这也印证了上文解法的正确性.

刚才我们处理的是小沐先生和苏雨同学对蛋糕喜好程度一样的情况，但现在我们将情境变一下：

面对美味诱人的蛋糕，小沐先生已垂涎三尺，可奈何有女士在场，小沐先生不得不展现出绅士风度，将蛋糕谦让给苏雨同学. 可随着时间推移，小沐先生将越发忍受不住蛋糕的诱惑，他将越发倾向于吃掉蛋糕. 下方图 12.1表示在苏雨同学一直没有吃掉蛋糕的情况下，经过 $t$ 时间，小沐先生已经吃掉蛋糕的概率.

对于苏雨同学，随着时间推移，她可能被小沐先生的绅士风度打动，从而吃下蛋糕. 图乙表示在小沐先生始终没有吃蛋糕的情况下，经过 $t$ 时间蛋糕已经被苏雨同学吃掉的概率与 $t$ 的关系. 那么在经过 $t$ 时间后，苏雨同学吃掉了蛋糕的概率为多少？

甲：小沐先生吃蛋糕的条件累积概率

乙：苏雨同学吃蛋糕的条件累积概率

吃蛋糕的概率分布

为了理解这两个概率分布函数图像，此处举一个例子.

假如让你从 $0\sim1$ 当中随机选一个实数，由于 $0\sim1$ 之中有无数个实数，选中每一个具体实数的概率都是 $0$ . 但倘若求选中的数字在某一范围的概率，我们便能够处理了. 例如，选中数字在 $[0,0.5]$ 区间的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选中数字在 $[0.2,0.6]$ 区间的概率为 $0.4$ . 如果固定左端点为 $0$ ，右端点为 $x$ ，那么选中数字在 $[0,x]$ 区间内的概率与 $x$ 的关系可用图 12.1描述。

对于这张图，我们可以有另一种理解方式：假设数字已被选中，而我们不知道是哪一个数字. 现在固定左端点 $0$ 不动，把区间右端点 $x$ 沿数轴向右推，并记录右端点推动到某一个值时，所选中数字已经处在区间内，即选中数字已经被找到的概率 $P'$ . 那么 $P'$ 与 $x$ 的关系图与上图一致.

那么回到吃蛋糕的情境. 应当注意，与时间 $t$ 对应的每一个纵轴坐标，都不是表示这一时刻蛋糕被吃掉的概率，而是到此时刻为止，蛋糕已经被吃掉的概率. 以图 12.1为例，经过 $t_0$ 时间，小沐先生有 $\frac{1}{2}$ 的概率吃掉了蛋糕，而这 $\frac{1}{2}$ 的概率平均分配到 $0\sim t_0$ 之间的每一时刻. 单独拎出一个时刻，我们无法计算此时刻蛋糕被吃的概率，我们只能研究蛋糕在某一时间段内被吃掉的概率. 以图 12.1为例，（假设苏雨一直没有吃蛋糕）， $0\sim t_0$ 时段内，小沐先生吃掉蛋糕的概率为 $\frac{1}{2}$ ， $0\sim \frac{1}{2}t_0$ 时段内该概率为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}t_0 \sim \frac{3}{4}t_0$ 时段内该概率为 $\frac{1}{8}$ .

还有一点尤为注意：图 12.1、图 12.2两图都有一个前提，即蛋糕始终没有被另一人吃掉. 例如苏雨经过 $t_0$ 时间，她吃掉蛋糕的概率显然不是 $\frac{1}{3}$ ，因为有可能当她产生吃蛋糕的想法时，蛋糕已经被小沐先生吃掉了.

对于此情境，有一种典型的错误. 即 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ ，其中 $\frac{1}{2}$ 是小沐先生没有吃蛋糕的概率， $\frac{1}{3}$ 是苏雨吃蛋糕的概率. 这种错误同样是忽视了两人都选择吃蛋糕的概率.

下面提供一种解法，读者只需理解原理计算过程需借助积分.

我们需计算苏雨同学吃掉蛋糕的概率，而苏雨同学可能在任意一个时刻内吃下蛋糕. 如果苏雨同学要在 $t_x \sim t_y$ 时间段内吃下蛋糕，那么必须满足两个条件：

$t_x$ 时刻之前小沐先生没有吃蛋糕
$t_x \sim t_y$ 之间苏雨产生了吃蛋糕的想法.

对于条件（1） $0\sim t_x$ 时间内小沐先生吃掉蛋糕的概率可利用图 12.1算出，为 $1 - \frac{t_x}{2t_0}$ .

对于（2），可用 $0\sim t_x$ 时间段产生吃蛋糕想法的概率与 $0\sim t_y$ 时间内产生吃蛋糕的概率作差. 记 $t_y - t_x = dx$ ，那么 $t_x \sim t_y$ 时间内，苏雨产生吃蛋糕想法的概率为 $\frac{dx}{3t_0}$ .

如果我们将 $x$ 与 $y$ 取得非常接近， $dx$ 趋向于 $0$ ，便可忽略小沐先生和苏雨同学都在 $t_x \sim t_y$ 区间内吃蛋糕的情况. 将所有 $dx$ 对应的概率相加，便可求出最终苏雨吃到蛋糕的概率. 即求：

\begin{equation} \int_{0}^{t_0} \frac{1}{3t_0} \left(1 - \frac{x}{2t_0}\right) dx \end{equation}

最终结果为 $\frac{1}{4}$ . 用同样方式可求出小沐先生吃掉蛋糕的概率为 $\frac{5}{12}$ .

结语

好了，关于三块蛋糕的研究终于告终了，感谢你耐心地读到这里.

笔者初次尝试，文中的三个问题都是笔者闲暇时的奇思妙想，将它们研究之后与大家分享. 或许有语义不通之处，或许有逻辑上的漏洞，或许某些地方讲得过于潦草，感谢读者的耐心阅读. 最后，让我们化用罗曼罗兰的名言结束本文：

生活中从不缺少数学的趣味，只是缺少一双发现趣味的眼睛。

再次感谢你的阅读与支持，我们下次再见！

数学社网站介绍

http://8.130.142.175（没钱买网站域名，只能用 IP 地址了，悲），这个就是我们数学社网站的网址了. 桐高数学社的线上据点，说到底就是这么个地方罢——不搞那些花里胡哨的噱头，却藏着能让数学爱好者满心欢喜的小细节（笑）. 先说说最核心的发帖回帖系统吧，说是堪比贴吧也毫不夸张哦，社员随便发点什么都可以，题解也好、错题也罢，哪怕是没琢磨透的半吊子思路，都能放上来（确信），回帖更是热闹又严谨，有人补证明、有人给巧解，不会有阴阳怪气的抬杠，只有实打实的思路碰撞，想找同好聊数学？来这儿准没错. 然后就是这个网站的内置 AI——AI 琪露诺，设定是雾之湖的冰之妖精，语气有点小傲娇（略微，属于是网址制作者个人爱好罢），却靠谱得不行（迫真），发题目过去就给思路给步骤，还会提醒易错点，自己写的解题过程也能让她检查，社恐不敢公开问基础题？或者有一些秘密小问题？（例如社长的个人问题？）（我在制作网址时已经和这个琪露诺说过了罢！但愿她能回答出来（大嘘））总之，找她就对啦，怎么追问都不会烦的. 还有个小惊喜要提一下，发完帖子偶尔会弹出社长大头照哦，配着几句鼓励的话，不算什么大场面，却能让人觉得自己的分享被认真看着，也算个小小的仪式感吧（笑）. 哦对了，网站导航也很顺手，找功能不用绕来绕去，积分什么的也只是记录大家的参与度，不是要比谁更强罢！（笑），整体就是这么个既严谨又有温度的地方，来逛一逛、发一发、问一问，总能有收获的，大概就是这样了（笑）.

这个网站还有发帖惊喜功能，算是网站的小彩蛋. 社员发布帖子后，系统会随机弹出社长大头照，大概能增添一丝乐趣罢，也让社员感受到自己的分享被认真关注着. 然后呢网站里面也是有我们的联系方式（社长邮箱和微信），如果你想直接找社长，可以非常方便地联系到他.

然后目前这个网站有 3 个内测老玩家账号，那个叫做"两万零五"的（头像是八奈见那个）就是社长吴嘉成了，还有一个是一中桐高数学大社分社的社长，所以我们这个网站还是涉及外交层面的（喜）. 对了，网站是有 AI 审核和人工审核的，所以要是发布什么违禁内容，比如直接发那种图片不打码，然后是最好不要在这个网站键政（这是非常恐怖的，可能导致网站被封），所以，为了防止我们的网站和社长大人被河蟹掉，违规的东西不要发罢.

最后是配套功能，顶部导航栏依次排列着主页、帖子社区、AI 琪露诺、积分榜等入口，新老社员都能快速上手. 积分系统也很人性化，发帖、回帖、分享优质内容均可获得积分，积分仅用于记录参与度，榜单只是为了让认真分享的社员被看见，没有功利化竞争，整体就是这样一个兼顾实用性和氛围感，能真正帮到社员的线上家园（笑）.

然后就是积分榜，这个东西社长会定期举行积分排行颁奖仪式的，积分由发帖数量决定，发帖越多积分越多.

最后，网站由数学社编辑部制作，编辑部持续招新中，我们要建设我们数学社成为桐高最大社团，就要在宣传上下功夫，要树立优质的社团形象，要搞个大新闻！让我们社团的名字活跃在学校的每个角落！

赏金猎人（题目悬赏活动）

普通难度

直线 $l$ 交抛物线 $y=x^2$ 于 $A,B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $\triangle OAB$ 的重心坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{26}{3}\right)$ ，则直线 $l$ 的解析式为 .
$E$ 和 $F$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $DC$ 和 $DB$ 的延长线上，若 $AE \perp EF$ ， $\angle AFE = 30^\circ$ ，则 $\tan\angle AFD =$ .
函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ，且有最小正周期 $4$ ， $f(x)$ 在区间 $[1,20)$ 内有 $37$ 个零点，则 $f(x)$ 在 $[4,9)$ 内零点个数的所有可能值为 .
设函数 $y = ax^2 + 8x + 3$ （ $a < 0$ ），对于给定的负数 $a$ ，总存在一个最大的正数 $m$ ，使得当 $0 \leq x \leq m$ 时，总有 $|y| \leq 5$ ，求 $m$ 的最大值.
在 $\triangle ABC$ 中， $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心， $A - B = \frac{\pi}{3}$ ，且 $\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $1$ ， $\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HC} = -\frac{1}{8}$ ，则 $\cos C =$ .

地狱难度

反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}$ 绕原点旋转一定角度后经过 $(-1,-3)$ 和 $(3,5)$ 两点，求 $k$ 的值.
如图 14.1，在 $\triangle ABC$ 中， $AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $AM$ 是 $BC$ 边上中线， $\triangle AMD$ 的外接圆交 $AB$ 于 $E$ ，交 $AC$ 于 $F$ . 当 $AB = 4$ ， $AC = 3$ 且 $\triangle AEF$ 为直角三角形时，求 $EF$ 的长.
第2题示意图
代数计算
定义：
1. $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3.1]=3$ .
2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ 为求和符号，如
$\sum_{n=1}^{3} \frac{1}{n+1} = \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{3+1}.$
求证：
$\left[ \sum_{n=1}^{999} \frac{\sqrt{4n^2+1}}{2n^3+2n^2} \right] = 1.$

排版后记

《桐高数学报》的成册，离不开数学社全体成员的热情付出。本人有幸承担本次排版工作，利用课余时间，以 LaTeX 这一强大而精致的排版工具，力求让数学公式与版面呈现出清晰、美观的效果；封面与封底则借助 InDesign 做了简单设计。由于这是本人第一次独立完成较大规模的 LaTeX 项目，文中难免存在疏漏与不足之处，若有任何排版上的瑕疵，诚恳希望各位读者与社员多多包涵、指正。

2026年3月14日
赵奕辉（@Silentnrtx）

博：(学识等) 广博 ↩︎
习：研习 ↩︎
知：掌握(知识) ↩︎
无疆：没有止境 ↩︎
敛：专一于某一方面，集中于 ↩︎
揆：推测揣度 ↩︎

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